- 向量
向量，也称矢量，是个既有大小又有方向的量。
- 基向量
首先基向量肯定是线性无关的，基向量所张成的空间中所有向量都可以由基向量唯一表示，比如二维空间中的\(\overrightarrow i\) 和 \(\overrightarrow j\) ，三维的话再加个 \(\overrightarrow k\) 。
- 施密特正交化方法
该方法可以将线性无关组构造成一个与其等价的正交向量组
- 矩阵
我认为矩阵和函数类似，是一种变换，所不同的是，函数是数与数之间的变换，而矩阵是向量与向量之间的变换，也可以理解为对空间的一种特定变换。矩阵的列向量组就是原空间基向量所变换后的结果，要求任意向量变换后的向量只需左乘变换矩阵。矩阵乘法相当于是一种求给定向量经过变换的结果的一种途径。
- 行列式
矩阵的行列式可以理解为将一区域的面积（二维，三维就是体积）经过变换后放大的倍数。
- 逆矩阵
我们知道线性代数一个最基础的运用就是求解方程组，对于一个方程组 \(A\overrightarrow x = \overrightarrow v\) ，v向量是给定的，我们要求x向量，我们要求所有经过矩阵 A 变换为 v 向量的 x 向量，如果 A 的行列式不等于0，那么我们可以唯一求出经过矩阵 A 变换为 v 向量的 x 向量，相应的，我们也可以根据 v 向量去找对应的 x 向量，那么我们称 A 矩阵可逆，逆矩阵表示为 A-1。我们将方程组左右同时乘以 A-1 ，即为 \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}}\overrightarrow v\)。
但是，如果矩阵 A 的行列式为0，那么相当于降维，如果解存在，那么会有无数个高维 x 向量对应着低维 v 向量，我们无法通过 v 向量唯一找到 x 向量。举个例子，比如变换矩阵为\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&4 \end{array}} \right)\)，那么基失\(\overrightarrow i\)向量变换成了（1，2），基失\(\overrightarrow j\)向量变换为（2，4），二者共线，所张成的空间为一维的，即是一条直线。如果 v 向量在这条线上，则有无数解，如果不在，则无解。
- 秩
对于秩，有很多理解，从方程组的角度，系数矩阵的秩就是线性方程组有效方程的个数，从空间的角度，矩阵的秩代表变换后空间的维数，举个例子，如果一个矩阵将空间变换成一维的，那么它的秩为1，如果变成2维的，那么秩为2。如果从向量组的概念理解，它的极大线性无关组所含有的向量个数即为此向量组的秩。
- 不是方阵的矩阵意义
其实，不是方阵我们用的比较少，但是也是有意义的，比如对于一个3×2的矩阵，它表示的意义就是将二维空间向三维空间的转换，这个在现实中确实不好理解。
- 特征值与特征向量
对于特征值和特征向量，它们满足的关系为\(A\alpha = \lambda \alpha\)，其中 α 为特征向量，λ 为特征值。我们考虑某个具体向量，对该向量进行矩阵变换后仅是伸缩变换而方向不变。那么这些向量被称之为特征向量，而伸缩的值称为特征值。
大致的求解则是先求出使\(\left \vert {A - \lambda E} \right \vert = 0\) 的所有特征值 λ ，再带入式子求出特征向量。
- 对角化
设 A 为 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 p ，使 P-1AP为对角矩阵，则称 A 可对角化。 其中对角矩阵为特征值组成的对角矩阵，矩阵p为矩阵A特征向量组成，表示为\({P^{ - 1}}AP = \Lambda\)，进一步可化为\(A = P\Lambda {P^{ - 1}}\)，这样我们求多个A矩阵相乘特别好求，\({A^m} = P{\Lambda ^m}{P^{ - 1}}\)。
n阶矩阵A可对角化的充分必要条件就是A有n个线性无关的特征向量。 p就是n个特征向量组成的矩阵，要求矩阵的逆存在，那么矩阵p的秩为满秩，即有n个线性无关的特征向量。
n阶矩阵不一定能对角化，但实对称矩阵一定可以对角化。
对角化特别好用，可以运用在求斐波那契数列上等
- 二次型以及标准型
二次型的研究起源于二次曲线与二次曲面的化简问题。
二次型就是一个二次的多项式，对于一个二次齐次多项式，我们可以用变量矩阵、系数矩阵、变量矩阵的转置表示，即\(f(x) = {x^T}Ax\)，其中A为对阵矩阵。仅含平方项的二次型称为标准型，我们可以寻找一个线性变换将其化为标准型。
如果对于任何非零向量，都有\(f(x) = {x^T}Ax\) >0（<0），则称 f 为正定（负定）二次型，二次型矩阵A为正定（负定）矩阵。
如果对于任何非零向量，都有\(f(x) = {x^T}Ax\) ≥0（≤0），则称 f 为半正定（半负定）二次型，二次型矩阵A为半正定（半负定）矩阵。
以上内容的理解可以参考3蓝1棕的视频
或参考汉语转载视频
